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miércoles, marzo 29, 2006

Nos miran

Portada del guion de la película Nos Miran, editado por Ocho y MedioEl error que voy a comentar hoy es muy curioso, ya que no aparece realmente en la película Nos Miran, sino en su guion, o al menos, en la versión que edita Ocho y Medio. Al principio de la película, se nos muestra un flashback de unos niños jugando en unas vías de tren. A uno de ellos (el protagonista de niño) le toca realizar una peligrosa aventura: caminar por la vía con los ojos vendados mientras se acerca un tren, y apartarse en el último minuto. En la descripción de la secuencia que se hace en el guion, se menciona que cuando el tren pasa junto al niño, éste siente que le arrastra la fuerza centrífuga que produce el tren.

Bueno, la fuerza centrífuga no tiene nada que ver con la fuerza que sentimos cuando un vehículo pesado pasa junto a nosotros a gran velocidad. La fuerza centrífuga aparece únicamente en giros, y es bien conocida por todos. Nos empuja en dirección opuesta al giro (de ahí su nombre) y la hemos experimentado muchas veces viajando en coche, al tomar una curva. Siendo puristas, no se trata de una fuerza real, sino que se trata de un artificio necesario cuando adoptamos sistemas de referencia no inerciales, algo que expliqué hace tiempo en otro envío.

La fuerza que sentimos cuando un vehículo pesado pasa junto a nosotros, se debe al movimiento del aire. Si nos fijamos bien, realmente sentimos una especia de ráfaga de viento que nos arrastra. ¿Por qué ocurre eso? Pues porque cuando un objeto se mueve, desplaza el aire que le rodea. El aire que tiene delante es empujado en la dirección del movimiento y hacia los lados. Además, detrás del vehículo se deja un "hueco" que es inmediatamente rellenado por el aire de alrededor. Ese aire en movimiento es el que nos empuja.

¿Hacia dónde nos empuja? ¿Cómo se mueve el aire? Bueno, la dinámica de fluidos es algo realmente complejo. El movimiento de un fluido (gas o líquido) está gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones no tienen solución analítica (como el problema de los tres cuerpos comentado ayer), y de hecho, es uno de los 7 Problemas del Milenio (¿recordáis el envío sobre Num3rs?).

Para que os hagáis una idea de su complejidad, existe una historia (no sé si es cierta o no, tal vez Omalaled pueda sacarnos de dudas en su blog), que cuenta que una vez le preguntaron a Werner Heisenberg (conocido sobre todo por su Principio de Incertidumbre Indeterminación, que es fundamental en mecánica cuántica) qué le preguntaría a Dios si tuviese la ocasión, a lo que contestó: Cuando conozca a Dios le haré dos preguntas: ¿por qué la relatividad? y ¿por qué las turbulencias? Estoy convencido de que tendrá una respuesta para la primera.

Corregido el 3 de Marzo de 2006.

martes, marzo 28, 2006

El problema de los tres cuerpos

Ojeando la última revista del Círculo de Lectores, me llamó la atención un libro de título La incógnita Newton, y leí el resumen para comprobar si se trataba de otro libro más que se suma a la moda iniciada por El Codigo DaVinci. Decía así:

Cambridge, año 1888. El mundo de la joven maestra Vanessa Duncan sufre una sacudida cuando un profesor de matemáticas de la prestigiosa universidad es hallado muerto de un golpe en la nuca. El profesor Akers se encontraba trabajando en la resolución del problema de los tres cuerpos, un enigma matemático que sir Isaac Newton fue el primero en plantear

Y resulta que el problema de los tres cuerpos no es ningún enigma. Es un problema sin solución analítica, que es algo muy distinto. ¿El qué? Veamos primero en qué consiste el famoso problema.

En el cole nos enseñaron la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya fórmula nos indicaba la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos: F = G·M·m/r2, donde F es la fuerza, M la masa de uno de los cuerpos, m la masa del otro cuerpo, r la distancia que los separa, y G la constante de gravitación universal. También nos enseñaron que la fuerza aplicada sobre un cuerpo, producía en este una aceleración, dada por la fórmula a=F/m (a es la aceleración, F la fuerza y m la masa). Con estas dos fórmulas, pero expresadas en forma vectorial (la fuerza y la aceleración tienen dirección), es bastante sencillo calcular la trayectoria de un objeto en órbita, conociendo su posición y velocidad en un instante dado.

Pero para ello siempre consideramos que uno de los objetos tiene una masa muy pequeña con respecto al otro. Esto nos vale para satélites artificiales y vehículos espaciales, pero no para sistemas en los que ambos cuerpos tienen masas no demasiado distintas, como una estrella binaria (dos estrellas orbitando una alrededor de la otra). En este último caso, la masa del segundo cuerpo afectará a la trayectoria del primero. Es el llamado problema de los dos cuerpos, y aunque es más complicado, se pueden obtener dos funciones que nos indiquen la posición de cada cuerpo, en función del tiempo.

¿Y qué pasa si en vez de dos cuerpos, tenemos tres? Pues como todos imaginaréis, estamos ante el problema de los tres cuerpos. En este caso, no existe solución analítica, es decir, no podemos encontrar una función para cada cuerpo que nos de su posición en función del tiempo. Pero el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma. Mediante análisis numérico se pueden realizar cálculos suficientemente aproximados sobre la trayectoria de los cuerpos.

¿Solución analítica? ¿Análisis numérico? ¿Qué es todo esto? Veamos un ejemplo sencillo:

Supongamos que queremos saber la posición de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, esto es, con aceleración constante. Conocemos la distancia inicial S0 a nuestro origen de coordenadas, la velocidad inicial V0, y la aceleración a. En el colegio nos enseñaron que la distancia del cuerpo al origen de coordenadas en función del tiempo es S(t) = S0 + V0 · t + (1/2) · a · t2. Esto es una solución analítica. Tenemos una función que nos permite calcular la distancia S para cualquier valor de t (tanto positivo como negativo, es decir, tanto en el futuro como en el pasado).

Imaginemos ahora que desconocemos dicha fórmula, y no sabemos calcularla. ¿Qué haríamos? Bueno, sabemos que la distancia inicial es S0, por lo que en nuestros cálculos deberemos partir de ahí. Sabemos también que la distancia recorrida por un cuerpo a velocidad constante es v·t. Sabemos incluso que la velocidad varía de la forma v=a·t. Pero tenemos el problema de que no sabemos calcular la distancia recorrida en esas circunstancias. Bien, supongamos que calculamos la distancia recorrida en un intervalo de tiempo muy pequeño, de forma que la velocidad apenas varía. Entonces, podemos calcular esa pequeña distancia como v·t. Ya, pero yo quiero calcularla para un intervalo de tiempo más grande. Pues dividimos ese intervalo en otros más pequeños, calculamos la distancia recorrida en cada intervalo (cada uno con velocidad distinta) y lo sumamos todo. El resultado será aproximado, y esa aproximación será mejor cuanto más pequeño sea el intervalo en el que suponemos que la velocidad es constante. Pues bien, a grandes rasgos (y que me perdonen los matemáticos por la simplificación), eso sería el análisis numérico.

El problema de los tres cuerpos no tiene solución analítica, es decir, no podemos obtener una función S(t) que nos diga la posición del objeto en cualquier instante de tiempo. Pero no es un problema irresoluble, ya que podemos atacarlo mediante análisis numérico. Y para eso contamos en la actualidad con una herramienta extraordinaria: el ordenador. Efectivamente, para realizar este tipo de cálculos tenemos que realizar muchas veces la misma operación, pero con distintos valores. Y esto es precisamente lo que mejor se le da a un ordenador (de hecho, podríamos decir que es una de las pocas cosas que sabe hacer).

Así que el problema de los tres cuerpos dista mucho de ser un enigma matemático. Cualquier PC actual tiene potencia más que suficiente para realizar los cálculos necesarios en milésimas de segundo, y pintar una animación en tiempo real, o incluso acelerada, de las trayectorias de los cuerpos. Un ejemplo de ello lo tenemos en esta web, con varios applets que nos pintan diversas trayectorias (hay que tener instalado el plugin de Java en el navegador).

Para no cargar toda al culpa sobre el Círculo de Lectores, hay que decir que el mismo error está presente en otros sitios, como en La Casa del Libro. Supongo que el error original estará en la propia editorial del libro.

lunes, marzo 27, 2006

Unidades y dimensiones

Tras el empacho del envío anterior, vamos con algo más breve y sencillo. Eduardo Sánchez me ha enviado un correo electrónico acerca de un error cometido en la web del Gobierno de Aragón, y que me temo que es habitual. Se trata de una página que habla del clima aragonés, y ofrece varias cifras de precipitaciones, medidas en milímetros por metro cuadrado.

La cantidad de lluvia se mide en litros por metro cuadrado, o en milímetros a secas (o en cualquier otra unidad dimensionalmente equivalente). ¿Y es esto grave? Bueno, primero vamos a pensar un poco en por qué se mide la lluvia de esa manera. Si nos encargaran medir la cantidad de agua que cae durante una tormenta ¿cómo lo haríamos? Lo primero que se nos ocurriría es poner algún tipo de recipiente bajo la lluvia, y medir la cantidad de agua recogida al terminar la tormenta ¿verdad? Y la cantidad de agua se mide en unidades de volumen, como el litro. Vale, pero ¿qué ocurriría si ponemos un recipiente más ancho. Pues que al terminar la lluvia, tendríamos más litros de agua recogidos.

Parece bastante intuitivo pensar que la cantidad de agua recogida es directamente proporcional a la superficie del recipiente. Un recipiente con el doble de superficie que otro, recogerá el doble de de agua. Así que una unidad de volumen, así sin más, no nos sirve. Tenemos que dividirla entre la superficie del recipiente utilizado. Así que tenemos los famosos litros por metro cuadrado (l/m2).

¿Y los milímetros? Bien, supongamos que tenemos dos recipientes, uno con el doble de superficie que el otro. En el mayor, se recoge más agua, obviamente, pero hemos dicho que la cantidad de agua es directamente proporcional a la superficie del recipiente, por lo que en el de doble superficie se recogerá exactamente el doble de agua. Si nuestro recipiente tiene forma de prisma o de cilindro (por ejemplo, un vaso de tubo), la altura alcanzada por el agua es igual al volumen de agua dividido entre la superficie. Así que, en ambos recipientes, el agua alcanza la misma altura (doble volumen, pero doble superficie también).

Si nuestro recipiente tiene exactamente un metro cuadrado de superficie, y lo llenamos con exactamente un litro de agua, la altura que alcanzará ésta será de 1 milímetro. Efectivamente, un litro es igual a 1 dm3, y un metro cuadrado es igual a 100 dm2 3. Si dividimos 1/100, tenemos 0,01 dm m, o lo que es lo mismo, 1 mm.

Bueno, pero es un gazapo sin importancia ¿no? Pues no necesariamente. El problema de fondo son las dimensiones de las unidades. Todos recordaremos del cole aquellas explicaciones sobre las dimensiones de las unidades de medida ¿verdad? Toda ecuación o fórmula física ha de ser dimensionalmente correcta. Esto es, las dimensiones a ambos lados de la igualdad deben ser las mismas. Así, la fórmula de la velocidad de un móvil es v=e/t, donde v es la velocidad, e el espacio, y t el tiempo. ¿En qué se mide el espacio? En unidades de longitud, como el metro o el kilómetro. ¿En qué se mide el tiempo? En unidades de tiempo, como el segundo o la hora. Y ¿en qué se mide la velocidad? Pues en unidades de velocidad, que a su vez son unidades de longitud dividido entre unidades de tiempo, como el km/h o el m/s. Esto se representa como L/T (longitud dividido por tiempo).

Vemos entonces que las precipitaciones se miden en unidades de longitud, es decir, su dimensión es L. Efectivamente, los milímetros son unidades de longitud. Y los litros por metro cuadrado también, ya que el litro es un unidad de volumen (L3), el metro cuadrado de superficie (L2), y al dividirlas, tenemos unidades de longitud (L3 / L2 = L). Los supuestos milímetros por metro cuadrado, tendrían una dimensión 1/L (puesto que L / L2 = 1/L), y por tanto, no nos sirven.

Las dimensiones de las unidades es algo fundamental en física, aunque su mal uso está bastante generalizado. Se me ocurren al menos dos ejemplos conocidísimos. Uno es el de los famosos años luz, que mucha gente toma erróneamente como unidad de tiempo. Como expliqué hace tiempo, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, es decir, unidades de velocidad multiplicadas por unidades de tiempo. Esto es (L/T) · T, o lo que es lo mismo, L: Unidades de longitud. Otro ejemplo es el de la potencia y la energía. La energía se mide en julios, y su dimensión es M · L2 / T2 (la M son unidades de masa, como el kg). Efectivamente, la energía (o trabajo) se define como la fuerza aplicada a un objeto al recorrer determinada distancia, la fuerza es a su vez masa por aceleración, y la aceleración es velocidad dividido por tiempo. La potencia es la cantidad de energía (generada o consumida) por unidad de tiempo, y se mide en vatios, que son julios por segundo, y por tanto su dimensión es M · L2 / T3. Y sin embargo, a veces se utilizan erróneamente los vatios como unidades de energía, como en Regreso al Futuro (caso ya comentado).

Y terminaré con una anécdota, que seguramente muchos compartiremos. En una ocasión tuve un profesor de física que era capaz de no puntuarte nada un problema cuyo único error era el no poner las unidades del resultado final. Y siempre decía la misma frase: Tres no es un resultado correcto. ¿Tres qué? ¿Tres peras? ¿Tres manzanas? No significa nada.

jueves, marzo 23, 2006

Numb3rs: una de cal y otra de arena

Hace unas semanas se estrenó Numb3rs, en Antena 3, una serie bastante original en la que un joven genio de las matemáticas ayuda a su hermano del FBI a resolver sus casos. En uno de los episodios de la semana pasada, se tocaba un tema interesante: la posibilidad de reventar las transacciones seguras en Internet.

En el episodio en cuestión, la hija de un matemático es secuestrada. El matemático en cuestión estaba trabajando en uno de los llamados problemas del milenio, la Hipótesis de Riemann, y creía haberla demostrado. Los secuestradores quieren precisamente esa demostración, reducida a un algoritmo. El protagonista explica que posiblemente quieran utilizarla para reventar los códigos que se utilizan en Internet, ya que éstos se basan en números primos, y la Hipótesis de Riemann puede proporcionar una manera rápida de factorizar números grandes. Más adelante descubren que el padre de la niña se había equivocado en sus conclusiones, y no tenía una demostración válida de la hipótesis en cuestión. Así que se inventan un algoritmo que da el pego, y montan una trampa para los secuestradores, de forma que cuando alguien intente conectarse a un determinado servidor (con información confidencial sobre los tipos de interés, me parece) utilizando esa clave falsa, se localiza el punto de la conexión mientras se proporcionan datos falsos para que los secuestradores no sospechen.

Bueno, empecemos por los aciertos. Efectivamente, la Hipótesis de Riemann existe y es uno de los 7 problemas del milenio que el CMI ha seleccionado, y que premia con un millón de dólares a quien los resuelva (un millón para cada problema). ¿De qué va eso de la Hipótesis de Riemann? Bueno, es algo difícil de explicar sin entrar de lleno en el mundo de las matemáticas, pero intentaré dar una explicación de andar por casa. Existe una función llamada función zeta de Riemann (zeta griega, no latina, es decir, ζ), que se representa como ζ(s), y que se define definió inicialmente para todo número complejo (excepto el 1) con parte real mayor que uno, como el sumatorio de 1/ns, con n de 1 a infinito:

Fórmula de la función zeta de Riemann

¿Lo cualo? Veamos, recordemos un momento eso de los números complejos. Un número complejo es un número de la forma a + b i, donde i es la raiz cuadrada de -1 (la unidad imaginaria), a es la llamada parte real, y b la parte imaginaria. El Σ ese (la letra griega sigma mayúscula) es el símbolo matemático para representar un sumatorio. ¿Un qué? Un sumatorio, es decir, una serie de sumas. En este caso, se define como todos los enteros desde 1 a infinito, es decir, que la función dichosa sería algo así como

1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + 1/5s + ...

hasta el infinito. Posteriormente se extendió para todo el plano complejo, salvo el 1, de forma que su fórmula ya no se parece al sumatorio.

La Hipótesis de Riemann nos dice que los ceros no triviales de dicha función son números cuya parte real es 1/2. Para entendernos, aquellos valores de s para los que la función se hace cero, son necesariamente de la forma 1/2 + b i. Hay que señalar que esto es una hipótesis conjetura, es decir, se cree que es cierta (y se tiene bastante seguridad de que lo sea), pero matemáticamente no está demostrada. Dicho de otra forma, no se ha encontrado ningún cero que no cumpla esa condición, pero no se ha conseguido demostrar que eso ocurra para todos los ceros.

¿Y qué utilidad tiene todo esto? Pues veréis, el teorema de los números primos nos dice que el número de números primos menores o iguales que un número x, es aproximadamente igual al cociente entre x y el logaritmo neperiano de x, es decir, x/ln(x) cuando x es muy grande. Este teorema nos ayuda para saber si determinado número, demasiado grande para poder ser factorizado en un tiempo razonable, es primo o no, ya que nos dice cuántos números primos hay por debajo del número en cuestión. Si la Hipótesis de Riemann es cierta, la fórmula anterior puede ser mejorada, reduciendo el número de primos posibles.

Resumiendo para los que se hayan podido perder, si la Hipótesis de Riemann es cierta, tenemos una muy buena herramienta para saber si un número (muy grande) determinado es primo o no.

Vale, pero ¿qué tiene que ver esto con Internet? Bueno, olvidémonos un momento de todo lo anterior y adentrémonos en el fascinante mundo de la criptografía. Todo el mundo tiene más o menos una idea de lo que es la criptografía. La idea es cifrar un mensaje de alguna manera, de forma que sea ilegible para el que no sepa descifrarlo. Para ello necesitamos dos elementos básicos: un algoritmo de cifrado, y una clave. Pongamos un ejemplo muy sencillo (y clásico, ya que tengo entendido que se utilizaba en la Roma antigua). Imaginemos que nuestro algoritmo de cifrado consiste simplemente en transformar una letra en otra, desplazando el alfabeto n posiciones. Es decir, si n es 2, tenemos:

A B C D E ... X Y Z
C D E F G ... Z A B

Es decir, la A pasaría a ser una C, la B una D, y así sucesivamente. El texto mensaje se convertiría en ñgouclg.El número de posiciones a desplazar sería la clave. En este ejemplo concreto hemos utilizado el 2 como clave, pero podríamos utilizar otro número. Para descifrar el texto, debemos aplicar un algoritmo inverso, con la misma clave. En este ejemplo, el algoritmo inverso sería desplazar las letras en el otro sentido:

A B C D E ... X Y Z
Y Z A B C ... V W X

Y así, ñgouclg se convertiría en mensaje. Esto es lo que se conoce como cifrado simétrico, ya que se utiliza la misma clave para cifrar y descifrar. El principal inconveniente de este tipo de cifrados es el distribuir la clave por un canal seguro, de forma que sólo su legítimo destinatario la reciba. Si alguien intercepta la clave, podrá descifrar todos los mensajes.

Existe otro tipo de cifrado, llamado asimétrico, en el que se utilizan dos claves relacionadas, de forma que si se cifra con una, se debe descifrar con la otra, y viceversa. Si mantenemos una de ellas secreta, y sólo entregamos la otra, cualquiera puede cifrar mensajes que sólo yo puedo descifrar. Y al revés, si yo cifro un mensaje, cualquiera puede descifrarlo, pero sabe que sólo yo he podido cifrarlo (no ha sido un impostor). Esto es lo que se conoce como sistemas de clave pública: de la pareja de claves, una se distribuye libremente (clave pública), y la otra se mantiene secreta (clave privada). Estos sistemas son ampliamente utilizados en informática, tanto para cifrar mensajes como para firmarlos digitalmente. En efecto, si yo cifro un mensaje con mi clave privada, existe la certeza de que sólo yo he podido cifrar ese mensaje, por lo que es el equivalente a una firma.

¿Cómo se consigue esto? Aquí debemos abandonar los ejemplos sencillos. La criptografía asimétrica se basa en algoritmos no reversibles, es decir, no tienen un algoritmo inverso. Además, tienen la peculiaridad de que una pareja de claves se relaciona de la forma mencionada antes. Si cifro con una, al aplicar el mismo algoritmo sobre el texto cifrado, con la otra clave, en realidad lo estoy descifrando (aunque existen sistemas en los que los algoritmos de cifrado y descifrado son diferentes, como en ElGamal). Un punto fundamental es que la relación entre las claves no es evidente, es decir, no se puede deducir la clave privada a partir de la clave pública.

La base de todo este tinglado son los números primos. Voy a explicar de forma sencilla uno de los algoritmos de cifrado asimétrico más utilizados: RSA. La generación de la pareja de claves en RSA se hace de la siguiente manera:

  1. Buscamos dos números primos distintos (y bastante grandes), a los que llamaremos p y q.
  2. Obtenemos el producto de dichos números (p · q), al que llamaremos n.
  3. Obtenemos el producto de los dos números primos menos uno, es decir (p-1)(q-1), al que llamaremos z. Ésta es la llamada función φ de Euler, y nos indica el número de todos los números primos con n, menores o iguales que n. Dos números primos entre sí, son dos números cuyo máximo común divisor es 1, y no quiere decir que sean necesariamente primos. Por ejemplo, 25 y 12 no son primos, pero son primos entre sí.
  4. Buscamos un número primo, menor que z, y primo con z, es decir, que no sea factor de z, o dicho de otra manera, que z no sea múltiplo de ese número. A este número lo llamaremos e.
  5. Buscamos un número, al que llamaremos d, tal que su producto con e, se pueda dividir entre z, danto como resto 1 (recordáis lo que es el resto de una división ¿no?). O dicho de otra manera, d·e - 1 es divisible entre z.

Una vez hecho esto, resulta que estos números tienen unas propiedades muy interesantes. Si yo cojo un número cualquiera m, y realizo la operación me mod n (donde mod se refiere al resto de la división, es decir, calculo el resto de me/n), obtengo un número, al que llamaremos c, que cumple lo siguiente: m= cd mod n. Es decir, si utilizo e, como exponente, obtengo un número, al que si le aplico el mismo algoritmo, pero con d como exponente, me da el número original. Así que ya tenemos nuestra pareja de claves. El par (e, n) sería la clave pública, y el par (d, n) sería la clave privada.

Fijáos que hemos calculado e y d a partir de z, pero este último número no lo necesitamos para nada una vez calculadas las claves, y por tanto lo podemos borrar para siempre (al igual que los números p y q). Si conocieramos z, podríamos deducir una clave a partir de la otra. Y para obtener z, necesitamos factorizar n (es decir, obtener los números primos que lo componen, p y q). Y aquí está todo el meollo de la cuestión. Con nuestro conocimiento actual de matemáticas, tenemos herramientas para saber si un número es primo o no, sin necesidad de factorizarlo. Factorizar un número suficientemente grande, puede llevar siglos aunque utilicemos los ordenadores más rápidos del mundo, mientras que averiguar si un número del mismo tamaño es primo o no, se puede hacer en segundos (o minutos). Esto quiere decir que si encontramos una forma de factorizar números grandes en poco tiempo, habremos reventado el algoritmo RSA.

¿Cómo de grandes son los números de los que estamos hablando? Pues de cientos de dígitos. Actualmente se utilizan en la mayoría de los casos, números de 1.024 bits, que tienen algo más de 300 dígitos. Pero últimamente se ha puesto en tela de juicio si ese tamaño es suficiente, por lo que ahora se recomiendan números de 2.048 bits, lo que nos daría números de más de 600 dígitos. ¿Podéis imaginarlo?

Una vez entendido todo esto (o eso espero), volvamos al episodio de Numb3rs. El prota nos explica que la demostración de la Hipótesis de Riemann puede utilizarse para ayudar en la factorización de números grandes, limitando múcho el número de primos con los que probar. Pero lo cierto es que lo que nos ayuda con los números primos es la hipótesis en sí. Es decir, yo me creo que es cierta, y utilizo ese conocimiento. De hecho, existen métodos para comprobar si un número grande es primo o no, basados precisamente en la suposición de que la Hipótesis de Riemann es correcta. Es decir, la demostración en sí no nos ayudaría en nada. Tal vez, y sólo tal vez, exista la posibilidad de que en el desarrollo de la demostración, aparezcan nuevas fórmulas que nos permitan reducir el tiempo de cómputo en la factorización de un número grande. Pero eso es sólo una hipótesis.

Luego existe otro problema. Supongamos que la demostración de la Hipótesis de Riemann nos ayuda a factorizar un número grande, y por tanto, a obtener una clave privada a partir de su pareja pública. En el episodio, los matemáticos no lo consiguen, y les dan a los secuestradores un algoritmo que da el pego. Pero dar el pego no es suficiente. ¿Qué es lo primero que harían los secuestradores con el algoritmo? Obtener lo que creen que es una clave privada, a partir de una pública. ¿Y lo segundo? Pues comprobar que esa clave privada corresponde a la pública. Es decir, cifrar un texto cualquiera con una de ellas, y descifrarlo con la otra. Y si no funciona, pues en seguida se darían cuenta.

Lo cuel nos lleva a otro problema. En el episodio, una vez montan la trampa, empiezan a hablar de la clave falsa y la cerradura falsa. Pero no hay una única clave falsa. ¿Cómo acceder de forma ilegítima a un servidor, suponiendo que tengas un método para obtener claves privadas a través de las públicas? Pues obteniendo la clave pública de un usuario legítimo (a través de su certificado digital, que básicamente es la clave pública junto con otros datos personales, firmados digitalmente por una entidad de certificación de confianza), y calculando la clave privada correspondiente. De esta forma, el secuestrador podría hacerse pasar por el usuario legítimo del certificado (uno de los pasos para la autenticación en este tipo de escenarios, consiste en firmar digitalmente un código aleatorio generado por el servidor entre el cliente y el servidor, es decir, cifrando con la clave privada). Esto quiere decir que la cerradura falsa debería poder identificar todas las posibles claves privadas falsas de todos los usuarios legítimos del sistema (o mejor dicho, identificar el cifrado con una de esas claves). O sea, que no estamos hablando de una única clave, sino de muchas.

Y todo este tinglado lo tienen que montar unos informáticos en unas pocas horas, lo que nos lleva a uno de los topicazos más habituales en estos temas. En el mundo real, sería algo inviable. Hay que modificar el sistema de autenticación para que detecte las claves falsas, montar un sistema parecido al real pero con datos falsos, y hacer que todo funcione sin ningún error. Ahora mismo, en mi trabajo, me dedico a mantener y ampliar una aplicación en Internet (varias relacionadas entre sí, en realidad) en la que los usuarios se identifican y a los que se les cobra por un servicio (no, no es ese tipo de servicio). Si me dicen que tengo que modificar todo para dirigir a unos usuarios a datos falsos o reales, en función de determinadas claves, en menos de un día, me parto de risa (o me pego un tiro).

Nota: Corregido el 27 de Marzo de 2006.

Nota: Corregido el 5 de Abril de 2006.

El ruido del movimiento de la Tierra

Hace un par de días recibí un correo electrónico de Salvador Medina, advirtiéndome sobre una nota de prensa de la UPM. En ella habla de la increíble velocidad a la que se mueve la Tierra alrededor del sol, y explica cómo calcularlo. Es muy sencillo, y sólo es necesario saber que el radio medio de la órbita terrestre es de aproximadamente unos 149 millones de km, y que el tiempo que tarda nuestro planeta en completarla es de aproximadamente un año. Mediante unos sencillos cálculos que todos hemos estudiado en el cole, resulta que la velocidad de la Tierra con respecto al Sol es de aproximadamente 30 km/s. Hasta ahí todo bien.

El problema es que después de esta acertada disquisición, se añaden los siguientes párrafos:

Algunas veces, habréis observado que cuando llevamos en un coche una velocidad de 100 ó 120 kilómetros por hora, el ruido producido por el aire nos ha impedido escuchar la radio de nuestro coche y hemos tenido que cerrar las ventanillas. ¡Qué ruido tan brutal tiene que producirse al movernos a 30 Km/sg! ¿No acabaríamos todos locos por ese terrible estruendo? Acaso como estamos oyéndolo desde que nacemos, ya nos hemos acostumbrado a él. O quizás, gracias a la atmósfera que rodea al planeta no captamos dicho ruido, al producirnos como un colchón que nos aísla y gracias al cual no escuchamos nada.

¿No os habéis parado muchas veces en el campo, a disfrutar del silencio absoluto que hay en él? Fuera del bullicio de la ciudad, tendríamos que oír el movimiento de la Tierra ¿Verdad que sí? Sin embargo, no lo oímos. Dejemos aquí el tema de esa tremenda velocidad de la Tierra y espero os haya gustado leer estas palabras mías y os haya dejado alguna inquietud, por seguir estudiando cosas de esta ciencia, la Astronomía, que sin duda es una de las ciencias más bellas.

Y es entonces cuando uno se lleva las manos a la cabeza.

El ruido de la Tierra al moverse. ¡El ruido de la Tierra al moverse! Pero ¿qué ruido? Un coche que viaje a 100 ó 120 km/h, produce un ruido de volumen bastante elevado debido a varios factores:

  • El rozamiento del aire, sobre todo el producido por la corriente entrante de aire si tenemos alguna ventanilla abierta.
  • El rozamiento de los neumáticos con el asfalto.
  • El motor del vehículo.

En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, no es aplicable ninguno de estos factores. No hay aire, ni ningún medio en el que esté inmerso nuestro planeta, para producir un rozamiento. Y desde luego, no hay nada parecido a un motor. Nuestro planeta (y todo objeto en órbita) se mueve en absoluto silencio.

En cambio, en vez de explicar eso, en el texto se especula sobre si no escuchamos ese sonido porque nos hamos acostumbrado a él, o porque la atmósfera nos aisla de él. Es decir, que permite la posibilidad de que el movimiento de la Tierra produzca un sonido. Y no sólo eso. La atmósfera no puede ser nunca un colchon que nos aisle del ruido, sino todo lo contrario. El sonido necesita un medio por el que propagarse, por lo que el aislante sonoro perfecto sería precisamente la ausencia de atmósfera. Es decir, el vacío.

En la nota se dice que el texto está redactado por una persona que, entre otras cosas, es catedrático de Astronomía. Si es cierto, es un agravante inmenso. No puedo entender cómo un catedrático de Astronomía puede redactar un texto así. MalaCiencia con mayúsculas.

Como anécdota final, el propio Salvador me comenta que la nota de prensa es en realidad un texto sacado de una web de astronomía para niños. Por un lado, mal está el decir a un niño que la Tierra produce un ruido al moverse (es más difícil corregir una creencia errónea que enseñar algo nuevo). Por otro, no parece adecuado el utilizar como nota de prensa, la transcripción literal de un texto para niños aparecido en otro sitio. Aunque eso sería más bien un tema para tratar en Malaprensa.

Nota: Por Dios, lo que me ha costado que este último envío se publique. ¿Alguien sabe qué le pasa a Blogger.com?

viernes, marzo 17, 2006

Finalista del concurso de blogs

¿Recordáis el concurso de blogs del diario 20 minutos? Pues bien, debido a protestas y denuncias sobre el sistema de votación, la redacción ha decidido no utilizar el recuento de votos para seleccionar a los 5 finalistas de cada categoría, que ha quedado a criterio del jurado. Y MalaCiencia ha siso seleccionada como finalista en la categoría de mejor blog de ciencia y tecnología.

Estoy convencido de que esto no hubiera sido posible si este blog no hubiera sido conocido, y si no hubiese estado entre los 10 primeros de esta categoría, durante gran parte del periodo de votación (resultado final, 7º con 966 votos, no está mal). Y nuevamente, eso es gracias a vosotros.

Así que, gracias a todos.

Galaxias y más galaxias

Hace tiempo que busco por Internet canciones de viejas series de TV. Al escucharlas, prestando atención a las letras, no puedo evitar pensar en que los creadores de estas sintonías, no tenían muy claro qué es una galaxia, y que utilizaban esa palabra porque les sonaba a algo del espacio. Pongámonos nostálgicos y recordemos algunas de ellas:

Fotograma de la serie Ulises 31La de Ulises 31, comenzaba así: Ulises, Ulises, va volando por las galaxias, más veloz que una estrella fugaz. Y más adelante seguía ...por planetas y galaxias nunca, nadia te puede ganar. Galaxias, en plural, por lo que los episodios podrían transcurrir en distintas galaxias.

Viajemos más atrás en el tiempo, y recordemos la canción del final de La Batalla de los Planetas (aunque la mayoría de la gente la recordará como "Comando G" a secas). Imagen de Mark, con una representación de la Tierra de fondoTras el conocido estribillo de Comando G, Comando G, siempre alerta está seguía de esta manera: Son cinco jóvenes y su robot, cuya misión es la de proteger la Tierra de los ataques de seres de otras galaxias. Así que el planeta Espectra, donde habitaba el malvado Zoltar, estaba nada más y nada menos que en otra galaxia (en realidad, en la versión original japonesa, ni siquiera existía el planeta Espectra, sino que los villanos eran una organización mundial, pero eso es salirse totalmente de la temática de este blog).

Inevitablemente me viene a la cabeza otro ejemplo, aunque no sea una canción: La Guerra de las Galaxias, una traducción poco acertada del original, Star Wars, que realmente significa Guerras Estelares. De esta forma, se insinúa que la saga tiene lugar en más de una galaxia, cuando no es así (Hace mucho tiempo, en una galaxia lejana, muy lejana...).

Con los ejemplos anteriores, parece que la mayoría de la gente no sabría explicar qué es una galaxia. Pues bien, una galaxia es un grupo de estrellas (con sus sistemas planetarios), nubes de gas y polvo, y demás objetos astronómicos, unidos gravitacionalmente, orbitando alrededor de un núcleo central. Dicho así, no parece gran cosa, pero hay que tener en cuenta las dimensiones y distancias de galaxias reales. Para ponernos en perspectiva, veamos primero las distancias a las que se encuentran algunas estrellas conocidas. La estrella más cercana, Próxima Centauri, está a 4,22 años luz. Sirio a 8,7. Aldebarán está algo más lejos, a 68,48 años luz. La Estrella Polar, se encuentra a unos 431 años luz. Rigel a 773.

Distancias inmensas ¿verdad? Pues es pecata minuta comparado con el tamaño de nuestra galaxia. Representación artística de la Via LácteaLa Vía Láctea tiene un diámetro de nada más y nada menos que 100.000 años luz, y un grosor en el centro de unos 26.000 años luz. Se calcula que nosotros estamos a unos 27.700 años luz del centro. El número total de estrellas no se sabe a ciencia cierta, pero se cree que es unos cien mil millones (100.000.000.000). Impresionante ¿verdad?

¿Y el resto de galaxias? ¿A qué distancia se encuentran? Bueno, en nuestro entorno inmediato, tenemos unas cuantas galaxias enanas, que orbitan la nuestra (una galaxia enana es una galaxia con "tan sólo" unos pocos miles de millones de estrellas). La más cercana es la Galaxia Enana del Can Mayor, a 25.000 años luz. Si buscamos galaxias en condiciones, comparables a la nuestra en cuanto a tamaño, tendríamos que ir hasta la Galaxia de Andrómeda, que está a unos 2.500.000 años luz. ¡Dos millones y medio! (cifra de la versión inglesa de la Wikipedia, consistente con astronomy.com, ya que en la versión española de la Wikipedia indican 2,9 millones) Y aún así, esta galaxia pertenece al llamado Grupo Local, que consiste en una agrupación de más de 30 galaxias que cubren una zona de unos 10 millones de años luz de diámetro.

Al utilizar cifras tan grandes, llega un momento en que nos bloqueamos, y perdemos perspectiva, así que vamos a utilzar un ejemplo. Imaginemos que tenemos una nave espacial capaz de alcanzar una velocidad máxima de 1.000 c, es decir, 1.000 veces la velocidad de la luz. A esa velocidad, tardaríamos día y medio en llegar a Próxima Centauri. No está nada mal. Para llegar a Sirio, emplearíamos 3 días y 4 horas. Ir a la Estrella Polar nos llevaría algo más de 5 meses. Cruzar nuestra galaxia de punta a punta nos tomaría 100 años. Y viajar hasta Andrómeda, dos milenios y medio.

Multipliquemos la velocidad por diez, y lleguemos hasta 10.000 c. A Próxima llegaríamos en poco más de 3 horas y media. A Sirio, en unas 7 horas y media. A la Estrella Polar, en dos semanas. Cruzar la galaxia de punta a punta nos llevaría 10 años, y alcanzar Andrómeda, 250 años.

Como veis, si las distancias entre estrellas son enormes, las existentes entre galaxias son inimaginables. Nuestra propia galaxia es suficientemente grande para que, a una velocidad en la que podríamos recorrer las estrellas cercanas en unas horas, tardásemos años en cruzarla. Veamos ahora el número de estrellas: 100.000 millones. Para no perdernos, comparémoslo con la población mundial, que es de aproximadamente 6.350 millones. Es decir, hay 15,7 estrellas por cada habitante de nuestro planeta.

Con cien mil millones de estrellas para escoger, no es necesario buscar lugares en otras galaxias para nuestras historias de ciencia ficción. En la saga de Star Trek, por ejemplo, pese a la infinidad de mundos habitados y especies conocidas, existen regiones de la Via Láctea desconocidas e inexploradas, y son parte del argumento de las series Espacio Profundo 9 y Voyager. De hecho, en esta última, la nave estelar Voyager es trasladada accidentalmente a la otra punta de la galaxia, y a máxima velocidad tardaría 76 años en alcanzar el conocido espacio de la Federación (y se supone que era la nave más rápida construida). Otro buen ejemplo es La Guerra de las Galaxias. ¿Alguien conoce un universo cinematográfico más rico en cuanto a especies alienígenas y planetas exóticos? Y todo ocurre en la misma galaxia.

Bueno, espero que eso haya ayudado a comprender un poco la inmensidad de una única galaxia.

miércoles, marzo 15, 2006

MalaCiencia cumple un año

Dibujo de una tarta de cumpleaños con una velaFue un día como hoy, hace exactamente un año, cuando me decidí a comenzar esta pequeña aventura. Revisando mi primer envío, con esa especie de declaración de principios, debo confesar que no siempre he cumplido mi autoimpuesta norma de limitrarme a errores que pueden detectarse únicamente con lo que aprendimos en el colegio y un poquito de investigación. En ocasiones he tocado temas algo complejos, como en el dedicado a por qué vuela un avión (y su continuación), y me he equivocado. Pero con la ayuda de todos creo que he corregido la posible malaciencia en MalaCiencia.

Tras un año, he de decir que la popularidad alcanzada me sorprende. Más de 50.000 visitas en total, según BlogPatrol, y una media de más de 450 visitas diarias según StatCounter. El blog aparece en la primera página de resultados de Google, con búsquedas muy genéricas como "masa relativista", "sistema galileo" o "por qué vuela un avión". Incluso en una ocasión, el diario 20 minutos corrigió un titular de su edición online, tras enviarle un comentario con un enlace al blog. Y todo esto es gracias a vosotros, no os quepa duda.

Pero ya vale de tanto autobombo, que al final me lo voy a creer y todo. Hoy quería reflexionar sobre los motivos originales que me llevaron a crear este blog, y que se pueden resumir en una creencia generalizada: cuanto más sabes de letras y menos de ciencias, más intelectual eres. Por supuesto, no estoy en absoluto de acuerdo con este pensamiento, pero descubro que está bastante extendido, al menos en ciertos sectores.

Como ejemplo, basta con leerse dos artículos de El País Semanal, el suplemento de El País, aparecidos hace ya bastante tiempo: Invitados de Ciencias y La isla misteriosa. El segundo ya fue comentado en su día (y muy acertadamente) en el blog Botella al Mar, así que no diré más. Pero el primero... No me extenderé demasiado, pues me calentaría y perdería mi objetividad (algo imprescindible en la ciencia). Leedlo y comprenderéis por qué. Sólo diré que aunque no soy el tipo más extrovertido del planeta, tampoco soy un ser huraño y aburrido de conversación monotemática que arruina la reunión al cuarto de hora, ni me considero silenciosamente arrogante. Eso sí, reconozco que intento cortar cualquier digresión no lógica, pues pocas cosas me molestan tanto como discutir con alguien que se va por las ramas cuando se queda sin argumentos, sacando temas que no vienen al caso, y pensando que el volumen de voz y las interrupciones, le van a dar la razón. Por cierto, que de pequeño era zurdo, por lo que mi hemisferio cerebral predominante es el derecho, el que te da permiso para generalizar, combinar, imaginar, desbarrar, ser más divertido. Y aún así, soy de ciencias.

Vayamos al mundo del cine. En las comedias "de adolescentes", siempre existe el personaje secundario del empollón con gafas de culo de botella, que es un friki de ciencias. En las de temática más seria, sobre una universidad o un instituto, sólo vemos clases de literatura. Recordemos por ejemplo películas como El Club de los Poetas Muertos, Mentes Peligrosas o Descubriendo a Forrester. Y en los casos en los que el protagonista es un científico (o un hombre de ciencias), intentando resolver un problema importante (para la trama), la solución siempre le viene tras escuchar un comentario casual y sencillo de un "no científico", sobre algún aspecto de la vida cotidiana, desplazando o repartiendo el papel de "salvador" de alguna manera. Así, en ID4, el personaje de Jeff Goldblum necesita escuchar un consejo de su padre sobre el resfriado, para recibir la inspiración necesaria y pensar en crear un virus informático. Hay muchos más ejemplos, pero ahora no los recuerdo.

Tal vez esté relacionado, o tal vez no, pero no puedo evitar pensar que todo eso es causa indirecta del sistemático descuido a la hora de publicar noticias científicas en medios no especializados, o al elaborar guiones para una película o serie. Eso, o la máxima "no dejes que la realidad te estropee una buena historia".

Pero gracias a esta situación, nació MalaCiencia. Hace tiempo leí en algún sitio que el 80% de los blogs que son abandonados, los son antes del primer año. Bien, parece que he superado el primer obstáculo. Aunque últimamente he bajado el ritmo, debido a una mezcla de aumento de trabajo, incompetencia de Wanadoo para arreglarme el ADSL de casa (llevo desde octubre sin conexión, que manda hue...), y extraños problemas con Blogger en la última semana (¿a alguien más le ha pasado?), tengo intención de seguir con este blog durante mucho, mucho tiempo.

viernes, marzo 10, 2006

La física de la música

En el mismo episodio de Alias (o puede que el siguiente) que comenté en el anterior envío, la prota tenía que ir a una cueva de hielo en Siberia, a recoger una caja de música diseñada y fabricada por Milo Rambaldi (un imaginario personaje renacentista, híbrido de DaVinci y Nostradamus). La madre de la prota explica que la música que reproduce la caja en cuestión, es un código, dado que cada nota musical corresponde a una frecuencia. Para ello, una de las cosas que le dice a su hija es que el Do Mayor corresponde a una frecuencia de 261 Hz.

No sé si se trata de un error de traducción, o ya estaba así en el diálogo original, pero resulta que Do Mayor no es una nota musical. Puede referirse a un acorde, que está formado por las notas do, mi y sol (o sea, tres frecuencias), o puede referirse a una tonalidad (que está formada por muchas más notas). Debería haber dicho simplemente do, para referirse a una sola nota, concretamente, el llamado do central, cuya frecuencia en la escala temperada corresponde a 261,6 Hz.

¿Pero sónde está la ciencia aquí? Pues en que cada nota musical corresponde a una frecuencia de oscilación. Para calcular las frecuencias de las notas, se parte del la inmediatamente posterior al do central (a veces llamado la fundamental), que corresponde exactamente a 440 Hz, y que es precisamente el sonido que emite un diapasón. A partir de ahí, y dependiendo de la escala, se obtienen las frecuencias del resto de notas.

La afinación y la relación entre las distintas notas ha ido variando a lo largo de la historia, creándose distintas escalas. Y no es por capricho, sino que todo tiene su explicación física. Un tono puro corresponde a una onda senoidal, es decir, una función del tipo f(t) = A sen(2 π f t), donde A es la amplitud, t es el tiempo y f la frecuencia. En el mundo real no existen tonos puros, pero todos se pueden extresar como suma de tonos puros de distintas frecuencuas. Así, si quisiéramos modelar matemáticamente un tono real, tendríamos una función que sería la suma de varios senos (matemáticos ¿eh?). Existiría una frecuencia fundamental (la de mayor amplitud), y varias frecuencias múltiplos de la fundamental, llamados armónicos.Gráfico que explica la descomposición de una onda periódica, en sus armónicos

Y aquí es donde entran las escalas. Si duplicamos la frecuencia de un tono, tenemos la misma nota en la octava superior, y si dividimos entre dos, tenemos la misma nota en la octava inferior. Es decir, si duplicamos la frecuencia del do central, obtenemos el do de la siguiente octava. Si triplicamos la frecuencia, obtenemos lo que se llama quinta perfecta (en la siguiente octava; si queremos permanecer en la misma, debemos multiplicar por 3/2), que en el caso de partir de un do, corresponde a la nota sol. Si cuadruplicamos la frecuencia, estamos multiplicando por dos, dos veces, es decir, estamos subiendo dos octavas, así que netemos otro do. Si quintuplicamos la frecuencia, obtenemos la llamada tercera mayor (dos octavas por encima; si queremos permanecer en la misma octava, hay que multiplicar por 5/4), es decir, un mi. Si multiplicamos por seis, estamos multiplicando por dos y por tres, es decir, tenemos otra vez la quinta perfecta.

Detengámonos aquí un momento, y quedémonos con los múltiplos 4, 5 y 6. Tenemos la sucesión do, mi, sol, en la misma octava, que es un acorde Do Mayor. Por tanto, en un acorde mayor, las frecuencias de las notas corresponden a los armónicos 4, 5 y 6 de la frecuencia correspondiente a la nota principal de dos octavas más abajo. Eso quiere decir que si tocamos un do, ese sonido tiene entre sus frecuencias, las de un acorde Do Mayor de dos octavas por encima. Si tocamos un acorde mayor cualquiera, las tres notas tendrán armónicos comunes, de forma que sonará como si de un todo homogéneo se tratase.

Si seguimos multiplicando y calculando armónicos, obtenemos la escala musical. Así, si multiplicamos la frecuencia por 9, obtenemos la llamada segunda mayor, 3 octavas por encima, que corresponde a un re. Vemos además que 9 es 3 por 3, es decir, sería la quinta de la quinta, y efectivamente, re es la quinta perfecta de sol (que es la quinta perfecta de do).

Antes he dicho "escalas" en plural. Y es que utilizando el sistema descrito (serie armónica), tenemos un problema a la hora de cambiar la notalidad de una melodía. Veamos, en esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor es 9/8, y corresponde a una diferencia de un tono. La relación entre una nota y su tercera mayor es de 5/4, y corresponde a una diferencia de dos tonos por encima. ¿Qué pasa si quiero subir un tono, toda una melodía?. Pues que el do pasaría a ser re, el re sería mi, y así sucesivamente. Para ello, se multiplicarían todas las frecuencias por 9/8. Pero la relación entre do y mi es de 5/4. Y si multiplicamos por 9/8 dos veces, tenemos 81/64, que no es 5/4. Es decir, no tocaríamos realmente el mismo mi. Esto no sería problema en instrumentos como el violín, donde podemos obtener la frecuencia que queramos poniendo el dedo en el sitio justo, pero sí lo es para instrumentos que sólo pueden emitir un número "fijo" (discreto) de frecuencias, como el piano (cada cuerda es una nota) o la guitarra (las frecuencias viene dada por la posición de los trastes). Utilizando esta escala, no podríamos subir o bajar el tono de una melodía sin alterarla.

A lo largo de la historia han surgido varias escalas similares (y precisamente, la escala armónica descrita, no ha sido de las más utilizadas), pero en todas ellas, aunque se minimizaba bastante la diferencia, existía el mismo problema: la distancia entre tonos no era constante.

La única que mantiene la misma distancia entre todos, y por ello es la que se utiliza actualmente, es la escala temperada (concretamente, con temperamento justo, ya que hay otras variantes). Todos conocéis las 7 notas musicales: do, re, mi, fa, sol, la y si. Entre cada una de ellas y la siguiente, existe una diferencia de un tono, excepto entre mi y fa, y entre si y el do de la octava siguiente, que la diferencia es de un semitono, o sea, medio tono (por eso en un piano, no hay teclas negras entre mi y fa, y entre si y do). Esto quiere decir que para subir a la octava siguiente, tenemos que subir 6 tonos, o 12 semitonos en total. Por tanto, la relación entre un semitono y el siguiente debe ser un número que multiplicado por sí mismo 12 veces, nos de 2 (recordar, hay que multiplicar por 2 para subir una octava). Y ese número es la raíz doceava de 2 (21/12).

En esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor (un tono de diferencia) es de raíz doceava de dos al cuadrado (22/12), que aunque no es exactamente 9/8, la diferencia (0,003) es casi inapreciable para el oído humano (sobre todo en mitad de una composición). Otro ejemplo: la quinta perfecta correspondería a raíz doceava de dos a la séptima (27/12). La diferencia entre 3/2 y 27/12 es de 0,0017.

Así que tenemos que por un lado, las frecuencias dependen de la escala utilizada. Pero es que además, también dependen de la frecuencia que definamos como la fundamental. He dicho que corresponde a 440 Hz (lo que en la escala temperada, nos da un do central de 261,6 Hz), pero eso no ha sido siempre así. La afinación del la (su frecuencia) también ha variado a lo largo de la historia.

Y con todo esto volvemos a la cajita de música de Rambaldi, en Alias. ¿Qué afinación y qué escala utilizaba? Desde luego, no las actuales, por lo que el do no correspondería a los 261,6 Hz actuales, ni a los 261 Hz que mencionan en la serie. Eso no sería un problema si simplemente grabamos la melodía que toca la caja, y luego la analizamos las frecuencias presentes. Pero en la serie, la música es grabada en la misma cueva de hielo, y luego la caja es destruida. ¿Y? Bueno, pues que en todo instrumento musical (no eléctrico), la frecuencia de cada nota depende del tamaño del objeto que vibra. En un instrumento de cuerda, por ejemplo, la frecuencia depende de la longitud de la misma. En una caja de música, depende del tamaño de las pequeñas láminas metálicas que son golpeadas.

¿Y qué? Pues que el tamaño de un objeto varía con la temperatura. El calor dilata los cuerpos, y el frío los contrae. La caja de música tendría una afinación diferente en la cueva de hielo que si estuviera en un recinto a temperatura ambiente. Si en vez de grabar la música in situ, se la hubieran llevado a un labotatorio, las frecuencias serían diferentes.

martes, marzo 07, 2006

Láseres y cristales

Carátula de la primera temporada de AliasEl sábado pasado, viendo la serie Alias, me fijé en una escena que creo que se ha convertido en un tópico (no sé si la he visto también en alguna película de James Bond), pero que no es realista. En ella, la prota utilizaba un pequeño láser para cortar el cristal de una ventana, y colarse dentro.

Podemos obviar el hecho de que hoy en día no existe tecnología para fabricar un láser tan pequeño, con potencia suficiente para cortar objetos. Uno siempre puede pensar que la Cia o el SD-6 tienen un grupo secreto de científicos que desarrolla tecnología avanzada y desconocida para el público en general. Lo chocante es que un láser (rojo, para más señas) pueda cortar el cristal de esa manera.

¿Qué es un láser?. Bueno, ya lo expliqué hace unos meses en un envío anterior, pero para resumir, digamos que es un haz de luz concentrado. Concretamente, monocromático (un sólo color) y colimado (una única dirección). Lo importante es darse cuenta de que el láser es luz. Bueno, vale, existen láseres infrarrojos y ultravioletas, pero el que se utilizaba en Alias era rojo, es decir, luz visible.

¿Qué ocurre cuando la luz visible incide en un cristal? Pues que parte se refleja, y parte lo atraviesa. Un láser no es diferente. Si apuntamos un láser rojo a un cristal, parte se reflejará, y parte lo atravesará. Así que en la serie, parte del láser debería haberse reflejado en el cristal (dándole a la pobre Sydney Bristow en la cara), y parte debería haberlo atravesado sin dañarlo (haciendo un bonito agujero en la pared de en frente). Es posible que con un láser de suficiente potencia, la zona del cristal donde éste incide se termine calentando, y podamos hacer un agujero, pero no parece la mejor forma de cortar un cristal.

Pensad en algo tan común como un CD o un DVD. Los discos tienen unos surcos microscópicos se leen con un láser. Pero el disco está protegido por una película transparente, para evitar que se dañen los surcos. El láser atraviesa sin problemas esta superficie, precisamente por ser transparente.

Es posible utilizar un láser para cortar o tallar cristal, pero éste no debe ser de luz visible, sino más bien infrarrojo. De hecho, existen empresas que mediante un láser hacen bonitos dibujos tridimensionales dentro de un cristal. En éste último caso, es precisamente las propiedades transparentes del cristal las que permiten que el láser penetre sin problemas para crear figuras en el interior. Cómo alteran el trozo de cristal que quieren, ya no lo sé con certeza, pero puedo imaginarlo: haciendo converger varios haces distintos o uno no demasiado colimado, en un punto concreto, con la potencia justa para alterar sólo el punto donde ocurre esta convergencia.

lunes, marzo 06, 2006

Revistas Científicas

Vais a pensar que me he vuelto un poco holgazán, pero he recibido un correo del Dr. Emilio Cano, del CNIM, sobre la polémica que surgió hace poco sobre lo "fácil" que es "colar" un fraude a una publicación científica. Y eso no es así en absoluto. Aquí reproduzco el correo:

Hace unas semanas surgió una importante polémica sobre la falsificación de resultados de investigación por el científico coreano Hwang Woo-Suk. No voy a entrar en ello, sino en la otra polémica que surgió a raíz de esta sobre la validez de los artículos publicados en revistas científicas. En algunos periódicos se leyó que algunas revistas científicas iban a mejorar su sistema de revisión de artículos para evitar fraudes. Este tipo de afirmaciones, junto al desconocimiento general de cómo funcionan las revistas científicas, hace pensar a mucha gente que cualquiera puede llegara a publicar cualquier cosa y, como consecuencia de ello, a desconfiar de manera sistemática de "los científicos".

Voy a tratar de explicar brevemente como funcionan las revistas científicas y la publicación en ellas. Para empezar, una revista científica es una publicación (en la mayoría de los casos) altamente especializada. Títulos de revistas como "Diamond and Related Materials" (Diamantes y Materiales Relacionados), "Annual Review of Fish Diseases" (Revisión Anual de Enfermedades de Peces) o "Bone" (Hueso) dan idea del grado de especialización de las mismas. Las revistas son el principal medio de divulgación de los resultados y avances científicos. Los artículos en ellas publicadas son la referencia y el punto de partida para cualquier investigador.

El proceso que se sigue es el siguiente: cuando un grupo de investigación obtiene resultados que suponen una aportación novedosa al campo en el que trabajan, se elabora un manuscrito en el que se exponen los antecedentes del tema, la metodología que se ha seguido en la investigación, los resultados que se han obtenido (con tablas, gráficas, etc.), la discusión e interpretación de los mismos, y para acabar, las conclusiones a que se ha llegado. Todo ello apoyado en una lista lo más exhaustiva posible de referencias a otros artículos sobre el tema. Este manuscrito se envía al editor de la revista que se considera más adecuada, por temática y audiencia, para la investigación realizada. Este manuscrito, y aquí viene lo más importante, no es publicado automáticamente. Ni siquiera es el editor de la revista el que juzga el manuscrito. Lo que se hace es someterlo a lo que se denomina "revisión por pares" (o peer review en inglés). Este proceso consiste en que el manuscrito es enviado a varios científicos (habitualmente 2 o 3) especialistas en la materia que, normalmente de manera anónima, lo revisan, dan su opinión sobre la originalidad y calidad del artículo, buscan posibles errores o imprecisiones, proponen análisis o interpretaciones para mejorar el artículo y, finalmente, hacen su recomendación sobre la publicación o no del artículo. En muchos casos, los artículos son devueltos a los autores para que corrijan los errores detectados, completen el trabajo o aclaren las objeciones expuestas por los revisores. En ciertos casos, este proceso se puede repetir varias veces hasta llegar a un estado final considerado adecuado.

Este proceso sirve para asegurar la novedad y el suficiente nivel científico de los artículos que se publican, para evitar errores o interpretaciones equivocadas (en la inmensísima mayoría de los casos cometidos de buena fe) y para mejorar el trabajo original. Es imposible asegurarse de que no hay fraude, sobre todo si el "falsificador" es alguien con un nivel puntero en el tema. Pero es, posiblemente, el mejor sistema para reducirlos al mínimo. Por definición, los avances científicos no son hechos constatados y asegurados que uno pueda discriminar fácilmente si son ciertos o falsos. Están en el límite de lo conocido. Nadie sabe más que el que más sabe de algo. Pero con este sistema, el "falsificador" no tiene que engañar a cualquiera, sino engañar a algunos de los que más saben sobre el tema. Obviamente, esto complica extraordinariamente el fraude.

En cualquier caso el mejor seguro contra los fraudes es el propio avance científico y el hecho mismo de la comunicación a través de las revistas no solo de las conclusiones obtenidas, sino de la metodología y discusión de la investigación. Cualquier resultado relevante será tratado de reproducir por toda la comunidad de científicos que trabajen en el tema. Si se verifica lo publicado, el artículo original (y con él los autores y de la revista) aumentará de prestigio, será citado constantemente y se reconocerá su carácter pionero, sirviendo de base para los siguientes avances. Pero si no se puede verificar lo publicado, como ocurrió con la fusión fría , el artículo original quedará desacreditado, ignorado y olvidado para siempre, excepto para el anecdotario.

En resumen, es muy difícil publicar un artículo fraudulento, pero es imposible (al menos desde mi punto de vista) que este fraude sobreviva, y antes o después será descubierto. Triste es que se conozca y se hable más unos pocos artículos fraudulentos que de los millones de artículos científicos, honestos e innovadores, publicados en revistas científicas (y el número no es una exageración).

Muy interesante y clarificador. Desde luego, es todo un halago que un Dr. se fije en este blog y envíe material :-).

Terminaré con un comentario, que en realidad no tiene que ver con la temática de este blog, y es la traducción de la palabra inglesa peer por par, que se veo que se está extendiendo en muchos ámbitos. Peer significa igual, y no par. Así, peer review sería algo así como "revisión por iguales", dado que son científicos de la misma especialidad los que revisan los trabajos, y pueden ser más de dos (curiosamente, en la Wikipedia, si vas a "revisión por iguales" te redirige automáticamente a "revisión por pares"). Lo mismo ocurre con las famosas redes peer-to-peer (P2P), que a veces aparecen en diversas publicaciones como "redes entre pares", cuando la traducción correcta es "redes entre iguales", haciendo énfasis en que está formada por máquinas de "igual categoría", en oposición a las redes tipo cliente-servidor, como la Web. Y además, las conexiones pueden ser entre más de dos.

miércoles, marzo 01, 2006

Speed y el tiro horizontal

Carátula de SpeedHoy voy a hablar de uno de mis temas favoritos: las patadas a la mecánica clásica. Supongo que la mayoría de la gente recordará una película de 1994 llamada Speed, en la que un criminal coloca una bomba en un autobús. Si éste superaba los 80 km/h, la bomba se armaba, y a partir de entonces, si la velocidad bajaba de esos 80 km/h, la bomba explotaba. Eso daba pie a toda una serie de escenas trepidantes en las que el autobús iba a toda velocidad, sin importar lo que se le pusiese delante.

En un momento dado, el autobús consigue llegar a una autopista, para poder correr a gusto. Pero ¡oh, vaya! La autopista está en obras, y le falta un tramo de unos 15 metros. Así que todos los del autobús se van a la parte trasera y cruzan los dedos, menos la conductora, que pisa el acelerador a fondo. El tramo de la autopista era más o menos horizontal, pero el autobús "vuela" sobre el trozo que falta, y cae sobre el otro extremo.

Bueno, bueno, bueno. Recordemos un poco de lo que nos enseñaron en el colegio. Concretamente, todo eso de los tiros parabólicos y horizontales. En un tiro parabólico, al lanzar un objeto con cierto ángulo con respecto al suelo, y suponiendo que no hay rozamiento, el objeto lanzado traza una parábola (de ahí el nombre) y vuelve a caer. El modelado de estos problemas era muy sencillo. Había una componente de velocidad horizontal, que se suponía constante (rozamiento despreciable), y una componente de velocidad vertical, que variaba con una aceleración constante orientada hacia el suelo: la gravedad. Si el ángulo de lanzamiento era cero, nos encontrábamos ante el llamado tiro horizontal, y puesto que la componente de velocidad vertical inicial era cero, siempre, siempre, siempre, el objeto terminaba su recorrido a una altura menor que la inicial.

¿Cuánto más abajo? ¿Es posible que la diferencia fuese inferior al radio de las ruedas, y así poder posarse en el otro extremo? Veámoslo. Como ya he dicho, la distancia horizontal era de unos 15 m. No sabemos la velocidad de autobús, pero podemos pensar que entre 120 y 140 km/h ya es una buena velocidad para un vehículo de ese tamaño. ¿Cómo se calcula la distancia vertical? Bien, en el colegio nos enseñaron que el espacio recorrido en un movimiento uniformemente acelerado es igual a la mitad del producto de la aceleración por el tiempo al cuadrado, es decir, e=(1/2) at2. Conocemos la aceleración, que es 9,8 m/s2 (la de la gravedad), pero no el tiempo. Bueno, tampoco es problema, ya que la componente de velocidad horizontal es constante, y en un movimiento uniforme, tenemos que el espacio recorrido es igual al producto de la velocidad por el tiempo, es decir, e=vt.

Pues bien, haciéndo cálculos, a una velocidad de 120 km/h, el autobús desciende casi un metro. A 140 km/h, la distancia es de unos 73 cm (casi 3/4 de metro). Poniéndonos exagerados, y utilizando una velocidad de 180 km/h (que me parece imposible para un autobús), la distancia sería de 44 cm. El que quiera, puede hacer sus propios cálculos en la web de HyperPhysics, que incluye un pequeño programita hecho en JavaScript, donde introduces la distancia horizontal y la velocidad, y te calcula la distancia vertical (por desgracia no funciona con Mozilla Firefox).

Todas las cifras parecen bastante grandes, teniendo en cuenta que basta con que la distancia de descenso sea mayor que el radio de la rueda delantera, para que el autobús se estrelle (si es menos, tal vez existan posibilidades). Además hay que tener en cuenta que fuera del papel y en el mundo real, las cifras serían mayores ya que el rozamiento del aire frenaría al autobús (que no es precísamente muy aerodinámico).

Así que el autobús, debería haberse estrellado contra el borde del otro extremo, caer, y explotar (por la bomba, claro). Por otro lado, no le veo utilidad al hecho de mover toda la gente a la parte trasera. Así, lo único que se consigue es desplazar el centro de gravedad hacia atrás, y que el autobús se incline un poco una vez deja de tocar suelo. Pero la distancia descendida sería la misma.